Nombres complexes (trigonométrie et géométrie)

Sommaire

Introduction

Ce cours fait partie d'un ensemble de cours sur les nombres complexes :

Prérequis

Pour vous assurer de vos connaissances de base sur les nombres complexes, consultez le cours WIMS Nombres complexes (introduction) et testez-vous sur les exercices. Plus précisément, avant d'aborder la partie calcul algébrique, vérifiez que vous avez acquis les notions et les méthodes de la partie 2. Avant d'aborder la partie trigonométrie, vérifiez que vous avez acquis les notions et les méthodes de la partie 3. Pour la partie géométrique, travaillez les parties 1 et 4.

Ensuite vous pourrez poursuivre votre étude.

Calcul algébrique

  1. Formule du binôme de Newton
  2. Équations linéaires
Pour compléter l'étude des équations à coefficients complexes, étudiez le cours Nombres complexes (équations) . En particulier, c'est dans ce cours que vous trouverez la résolution des équations en z et z¯.

Trigonométrie

  1. Formules de trigonométrie
  2. Démonstrations et exercices
  3. Forme exponentielle
  4. Calculs, forme trigonométrique
  5. Formule de Moivre
  6. Linéarisation et formules d'Euler
  7. Somme d'exponentielles complexes
  8. Écriture exponentielle, et formulaire trigonométrique.
  9. Applications

Géométrie

  1. Argument et alignement
  2. Cercles
  3. Détermination de lieux
  4. Nombres complexes et suites

Formule du binôme de Newton

La formule du binôme de Newton se démontre dans ℂ de la même façon que dans ℝ.
Formule du binôme de Newton.

Soient n et k deux entiers naturels, avec k≤n, on appelle coefficient binomial le nombre noté (nk) défini par :

(nk)=n!(n−k)!k!

Si a et b sont deux nombres complexes, et n un entier naturel, alors on a la formule suivante :

(a+b) n=∑ k=0 k=n(nk)a n−kb k=∑ k=0 k=n(nk)a kb n−k

Nous verrons à la page Linéarisation et formules d'Euler une application de la formule du binôme de Newton à la trigonométrie.
Exercices. Application de la formule.
  1. Calculer les expressions suivantes : a=(1+i) 2,b=(−2−3i