Ensembles

Objectifs et conseils

Ce cours est une introduction à la théorie des ensembles. Ensuite, pour les fonctions et les applications, consultez le cours Doc Fonctions, applications

Définitions
Opérations sur les ensembles
Cardinal
- Cardinal
- Cardinaux : exercices pratiques

Ensembles

Définition "intuitive". On dit, traditionnellement, qu'un ensemble, noté par exemple $E$ , est une collection, un regroupement d'objets appelés éléments.

Notations. L'assertion " $a$ appartient à $E$ '' se note $a \in E$ . L'assertion " $b$ n'appartient pas à $E$ '' se note $b \notin E$ .

Un ensemble peut se définir

soit en extension : en donnant la liste de tous ses éléments, si c'est possible, souvent entre deux accolades, par exemple $E = {a, b, c}$ .
soit en compréhension en donnant une propriété qui caractérise ses éléments, par exemple $F$ est l'ensemble des entiers pairs.

En particulier, un ensemble à un seul élément $a$ est appelé un singleton, noté alors ${a}$ .

Exemples d'ensembles.

]1,3], $ℝ^{n}$ , $ℚ$ , les irrationnels, les solutions d'une équation...
${(x, y) \in ℝ^{2}, y \neq x^{2}}$ .
L'ensemble des termes d'une suite $(u_{n})_{n \in ℕ}$ . Il est noté ${u_{n}, n \in ℕ}$ .
Le graphe d'une application $f$ d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$ , c'est-à-dire l'ensemble $G = {(x, f (x)), x \in E}$

Ensemble vide, sous-ensemble

Définition 1. Disons qu'on peut parler d'ensemble dès que l'on peut dire si un objet est (ou non) élément de cet ensemble... Ceci permet de définir plus aisément l'ensemble vide, noté traditionnellement

\emptyset

(la lettre grecque ph