Algèbre linéaire : espaces vectoriels

Objectifs et conseils

Avec ce chapitre, nous posons les bases de l'algèbre linéaire. Pour entrer au mieux dans ces définitions un peu abstraites, faites des dessins en dimension 2 ou 3. Vérifiez les propriétés énoncées sur des exemples simples. Prenez le temps d'assimiler les premières notions, vous comprendrez mieux la suite.

Sommaire

Introduction
Définition d'un espace vectoriel
Exemples
Règles de calcul
Combinaisons linéaires et systèmes linéaires
Interprétation
Sous-espaces vectoriels
Exemples de sous-espaces vectoriels
Ensemble des solutions d'un système linéaire
Histoire

Bibliographie

François Liret et Dominique Martinais, ALGEBRE 1ère Année (Dunod)

Les rappels de cours de cette partie sont issus des résumés de cours du S1 MIAS rédigés par Myriam Déchamps.

Introduction

Problèmes linéaires
Vecteurs : langage géométrique, langage algébrique
Vecteurs dans Rⁿ
Conclusion

Problèmes linéaires

Introduction
Définition d'un espace vectoriel
Exemples
exerciceev
Règles de calcul
Combinaisons linéaires et systèmes linéaires
Interprétation
Sous-espaces vectoriels
Exemples de sous-espaces vectoriels
Ensemble des solutions d'un système linéaire
Histoire

L'algèbre linéaire fournit un langage et une collection de résultats très utiles dans des domaines très variés (biologie, chimie, économie, physique, statistiques ...). Mais pour savoir l'utiliser, il faut apprendre à identifier les problèmes linéaires ou ceux qui peuvent être modélisés par une approche linéaire (c'est une situation usuelle dans la plupart des sciences : on remplace ainsi un phénomène complexe par un problème plus facile à résoudre).
On dira (on verra dans la suite une définition plus précise) que

un problème est linéaire si chaque fois que l'on a deux solutions

u

v

au problème, alors

u + v

u, où

est un nombre réel ou complexe, sont aussi solutions du problème.

Par exemple, le principe de superposition en physique exprime que les équations de la chaleur et des cordes vibrantes sont linéaires.
En mathématiques, l'axiomatisation des problèmes linéaires se fait par la définition de la structure d'espace vectoriel et notre premier souci sera de distinguer, parmi les ensembles qui nous sont familiers, ceux qui peuvent être munis de cette structure.

Vecteurs : langage géométrique, langage algébrique

Soit

(O, \overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j}, \overset{⇀}{k})

un repère de l'espace. Soient

M

M'

deux points de l'espace, de coordonnées

(a, b, c)

(a', b', c')

dans ce repère. Alors les vecteurs

\vec{O M}

\vec{O M'}

s'écrivent :

\vec{O M} = a \overset{⇀}{i} + b \overset{⇀}{j} + c \overset{⇀}{k} et \vec{O M'} = a' \overset{⇀}{i} + b' \overset{⇀}{j} + c' \overset{⇀}{k}

On sait faire la somme de ces deux vecteurs, on sait les multiplier par un nombre réel lambda

et ces opérations géométriques sur les vecteurs se traduisent par des opérations algébriques sur leurs coodonnées par rapport au repère fixé :

Vecteurs	$\vec{O M}$	$\vec{O M'}$	$\vec{O M} + \vec{O M'}$	$\vec{O M}$
Coordonnées	$(a, b, c)$	$(a', b', c')$	$(a + a', b + b', c + c')$	$(λ a, λ b, λ c)$

Si nous ne retenons que l'aspect algébrique, il est alors possible de considérer des "vecteurs'' avec

n

coordonnées et de définir leur somme et le produit d'un vecteur par un nombre réel, de façon analogue.

Vecteurs dans Rⁿ

Soit

n \in ℕ^{*}

, convenons d'appeler vecteurs les éléments de

ℝ^{n}

(le produit cartésien usuel

ℝ \times ℝ \times \dots \times ℝ

n

fois) et d'appeler scalaires les éléments de

Définition. Soient

u = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}

v = (y_{1}, \dots, y_{n}) \in ℝ^{n}

λ \in ℝ

la somme des vecteurs $u$ et $v$ est le vecteur
$u + v = (x_{1} + y_{1}, \dots, x_{n} + y_{n}) \in ℝ^{n}$ .
le produit du scalaire par le vecteur $u$ est le vecteur
$λ$