Algèbre linéaire : applications linéaires

Objectifs

Définition. Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le même corps K. Une application

f

est une application linéaire si :

Cas particuliers. Soit

f

une application linéaire.

Si $F$ est le corps $K$ , on dit que $f$ est une forme linéaire sur $E$ .
Si $E = F$ , on dit que $f$ est un endomorphisme de $E$ .
Si $f$ est bijective, on dit que $f$ est un isomorphisme de $E$ dans (ou sur) $F$ .
Si $f$ est bijective et $E = F$ , on dit que $f$ est un automorphisme de $E$ .

On note

L (E, F)

l'ensemble de toutes les applications linéaires de

E

dans

F

. Si

E = F

, on note

L (E, F) = L (E)

Proposition Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

et f une application linéaire. Alors :

$f (0) = 0$ et pour tout $u$ $E$ , $f (- u) = - f (u)$ .
Pour tous $λ_{1}, λ_{2}, \dots λ_{n}$ dans $K$ et $u_{1}, u_{2}, . . ., u_{n}$ dans $E$ , on a :
$f (λ_{1} u_{1} + λ_{2} u_{2} + \dots + λ_{n} u_{n}) = λ_{1} f (u_{1}) + λ_{2} f (u_{2}) + \dots + λ_{n} f (u_{n})$ .
Si $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , alors $f (G)$ est un sous-espace vectoriel de $F$ .

Proposition(définition équivalente d'application linéaire) Soient

E

F

deux espaces vectoriels sur le corps

K

. Une application

f : E \to F

est une application linéaire si et seulement