Géométrie du plan complexe

Définition

Proposition

Exercice

1. L'ensemble des points $M$ vérifiant $\mid m-a\mid =\mid m-b\mid$ est la médiatrice de $[AB]$, ensemble des points équidistants de $A$ et $B$.
2. L'ensemble des points $M$ vérifiant $\mid m-a\mid =\mid a-b\mid$ est le cercle centré en $A$ passant par $B$.
3. L'ensemble des points $M$ vérifiant $\mid m\mid <1$ est le disque unité ouvert (c'est-à-dire le disque sans le cercle unité).
4. L'ensemble des points $M$ vérifiant $\mid m\mid \le 1$ est le disque unité fermé (c'est-à-dire avec le cercle unité).
5. L'ensemble des points $M$ vérifiant $m+\overline{m}=1$ ne contient pas $O$ donc on peut poser $m={\mathrm{re}}^{i\theta }$ ; la condition s'écrit alors $2r\cos (\theta )=1$. L'ensemble des points $M$ vérifiant $m+\overline{m}=1$ est la droite $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
6. L'ensemble des points $M$ vérifiant $m-\overline{m}=\text{i}$ ne contient pas $O$ donc on peut poser $m={\mathrm{re}}^{\text{i}\theta }$ ; la condition s'écrit alors $2r\sin (\theta )=1$. L'ensemble des points $M$ vérifiant $m-\overline{m}=\text{i}$ est la droite $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
7. Les points $M$ tel que ${\displaystyle {\displaystyle \frac{m-a}{m-b}}}$ soit égal à $\pm \text{i}$ sont les intersections du cercle de diamètre $[AB]$ et de la médiatrice de $[AB]$ en effet le triangle $ABM$ est rectangle isocèle en $M$.
8. Les points $M$ tel que ${\displaystyle {\displaystyle \frac{m-a}{m-b}}}$ soit un imaginaire pur sont les points différents de $B$ du cercle de diamètre $[AB]$ en effet le triangle $ABM$ est rectangle en $M$.
   

Exercices

• La transformation $R_{1,b}$ est la translation de vecteur $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ d'affixe b. En effet, de $z\prime =z+b$, on tire : $\overrightarrow{\mathrm{MM}\prime }=\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ puisque $z\prime -z$ est l'affixe de $\overrightarrow{\mathrm{MM}\prime }$.
• La transformation $R_{-1,2c}$ est la symétrie centrale de centre $C$ d'affixe $c$. en effet, de $z\prime =-z+2c$, on tire $c={\displaystyle \frac{z+z\prime }{2}}$ donc $C$ est le milieu de $[MM\prime ]$.
• Pour ${\displaystyle \lambda }$ réel, non nul et différent de $1$, et $c\in ℂ$, $R_{\lambda ,c(1-\lambda )}$ est l'homothétie de centre $C$ d'affixe $c$ et de rapport ${\displaystyle \lambda }$. En effet, pour $M\prime =h(C,\lambda )(M)$, on a : $z\prime -c=\lambda (z-c)$.
• Pour $\theta \ne 0$, l'image de $M$ par la rotation de centre $C$ d'affixe $c$ et d'angle ${\displaystyle \theta }$ est le point $M\prime$ dont l'affixe vérifie :
  ${\displaystyle z\prime -c=e^{i\theta }(z-c)}$
• La transformation $S_{1,0}$ est la réflexion d'axe $y=0$ : $z\prime =\overline{z}$.
• Pour $\theta \ne 0$ et $a=e^{i\theta }$, $S_{a,0}$ est la réflexion d'axe ${\displaystyle \Delta }$ où ${\displaystyle \Delta }$ est la droite passant par $O$ et tel que $((\mathrm{Ox}),\Delta )={\displaystyle \frac{\theta }{2}}$. En effet, de $S_{a,0}(z)=e^{i\theta }\overline{z}$, on tire : $S_{a,0}\circ S_{1,0}=R(e^{i\theta },0)$.

Exercice

Proposition

III-1-1 Etude de $z\prime =az+b$

III-1-2 Exemple

Proposition

Remarque

III-2-1 Etude de $z\prime =a\overline{z}+b$

III-2-2 Exemple

Proposition