Surfaces paramétrées

Guide

Étude rapide des surfaces paramétrées, calcul de l'aire d'une surface, flux d'un champ de vecteurs à travers une surface. Formules de Stokes-Green.

• Surfaces
  • Introduction
  • Définition
  • Exemple fondamental
  • Exemples : parallélogramme, cône, sphère, cylindre ...
  • Quelques surfaces paramétrées à tracer
  • Plan tangent
  • Calculer le plan tangent
  • Vecteur normal
  • Exemples de calcul de vecteurs normaux
  • Exercices
• Aire et intégrales de surface
  • Aire
  • Exemples de calcul d'aires
  • Intégrale de surface
  • Flux à travers une surface
  • Exemple de flux
  • Exercices de calcul de flux
  • Propriétés du flux
• Théorèmes fondamentaux
  • Bord d'une surface
  • Théorème du flux-rotationnel
  • Exemple : formule de Green-Riemann
  • Volumes et orientation
  • Exemples d'orientation positive
  • Théorème de Stokes
  • Conséquences du théorème de Stokes
  • Exercices
  • Angle solide et Mesure de l'angle dans le plan
• Résumé

Documents

Surfaces

• Introduction
• Définition
• Exemple fondamental
• Exemples : parallélogramme, cône, sphère, cylindre ...
• Quelques surfaces paramétrées à tracer
• Plan tangent
• Calculer le plan tangent
• Vecteur normal
• Exemples de calcul de vecteurs normaux
• Exercices

Introduction

Les surfaces peuvent être données de plusieurs manières différentes.

• Surfaces d'équation explicite : le graphe d'une fonction de deux variables. Leur équation est donc de la forme $z=f(x,y)$. Mais cela peut aussi être $x=f(y,z)$. Ainsi, une des variables s'exprime en fonction des autres.

  Exemple

  • la surface d'équation $z=xy$ Tracé
  • La surface de Van der Waals donnée par $z=(y-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})(x-1)$ Tracé
• Surfaces d'équation implicite : l'ensemble des points $(x,y,z)$ de ${ℝ}^3$ tels que $h(x,y,z)=0$.

  Exemple

  La sphère de centre $O$ et de rayon 1 est d'équation implicite $x^2+y^2+z^2=1$. La surface d'équation $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=1$ avec $a$, $b$ et $c$ positifs est un ellipsoïde.
• Les surfaces paramétrées que nous allons particulièrement étudiées dans la suite.

Exercice

Définition

Définition

Si les composantes de la fonction vectorielle $f$ sont $f=(f_1,f_2,f_3)$, on écrit aussi : On note quelquefois les composantes de $f(u,v)$ par $x(u,v)$, $y(u,v)$, $z(u,v)$, ce qui donne les équations De même que pour les courbes paramétrées, une surface paramétrée est fournie avec son paramétrage.
On peut aussi ne regarder que l'image $f(𝒟)$ de l'application $f$ ; c'est un sous-ensemble de ${ℝ}^3$ qu'on appelle aussi surface dans ${ℝ}^3$ (à condition qu'elle ne soit pas dégénérée ...).

Exemple fondamental

Exemple