Géométrie du plan

Ce document est conçu comme une initiation à la géométrie du plan et une introduction à l'utilisation des groupes. Ce travail mène naturellement à l'étude des frises et des pavages, ce qui est abordé dans un autre document.
Il a été développé au fil d'un cours d'ouverture à l'intention d'étudiants de L1 et L2 comme une promenade dans la géométrie du plan.

I De la géométrie aux groupes

II Géométrie du plan

III Isométries du plan

IV Groupes et groupes d'isométrie

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I-1 Géométrie et géométrie

Nous allons commencer par parler de quelques groupes simples.

I-2 Groupes : Introduction

I-3 Rappels : Le plan complexe

• La géométrie des triangles, de droites, des figures : Les grecs calculent avec la géométrie (construire le nombre dont le carré est 5, trouver le pgcd de deux nombres).
    Euclide : Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments soit égal au carré du segment restant.
   
  Solution

  Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, soit égal au carré du segment restant.
  Voir la construction
  

  • On prend un segment $AB$.

  
  

    Descartes : Soit $AB$ l'unité et qu'il faille multiplier $BD$ par $BC$, je n'ai qu'à joindre les points $A$ et $C$, puis tirer $DE$ parallèle à $CA$, et $BE$ est le produit de cette multiplication.
  Ou s'il faut tirer la racine carrée de $GH$, je lui ajoute en ligne droite $FG$, qui est l'unité, et en divisant $FH$ en deux parties égales au point $K$, du centre $K$, je tire le cercle $FIH$, puis élevant du point $G$ une ligne droite jusques à $I$ à angles droits sur $GH$; c'est $GI$ la racine cherchées
   
  Solution

  Construire la racine carrée d'un nombre représenté par un segment.
  

  voir la construction

  Voici le segment de longueur $x$. Ou s'il faut tirer la racine carrée de $GH$,

  
  
• La géométrie analytique ou cartésienne : on repère un point par ses coordonnées $(x,y)$. Une droite a une équation $ax+by+c=0$, on donne des expressions analytiques pour les transformations.
  

  Exemple

  Trouver anaytiquement le point d'intersection de la droite passant par $A(1,2)$ et $B(0,1)$ et de la droite d'équation $y=2x+1$.
   
• La géométrie devient algèbre : on s'intéresse aux structures, aux transformations plutôt qu'aux objets et à leurs propriétés.
  Ainsi les dessins sont les mêmes du point de vue de leur groupe de symétrie.
  
  

I-2-1 Exemples de groupes

Donnons la définition générale d'un groupe :

I-2-2 Groupes : définition

I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2

Un exemple important pour la géométrie (et pour la physique) sont les groupes de symétrie ou groupes d'isométries.

I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

I-2-5 Groupe de symétrie : définition

Commençons par des exemples arithmétiques ou numériques : relatifs, réels ou rationnels :