Intégration numérique

Ce document présente quelques méthodes classiques de calcul numérique d'intégrales. Il est destiné à des étudiants de licence.

I Introduction

II Formules de quadrature et leur ordre

III Mise en oeuvre sur Matlab

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature

V Exemples de calcul numérique de l'ordre

VI Bibliographie

VII Exercices

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I-1 Problème étudié

I-2 Notations et définitions

I-3 Résultats fondamentaux

Soit une fonction $f:[a,b]⟶ℝ$ intégrable. Nous nous intéressons au calcul de son intégrale sur $[a,b]$: Dans ce chapitre on présente la théorie des quelques méthodes classiques de calcul numérique de $I(f)$. Ces méthodes sont appelées méthodes de quadrature . Pour chaque méthode, on s'intéresse à son ordre, à l'étude de sa convergence et à l'étude de son erreur de convergence. On développe aussi quelques idées nécessaires à l'écriture d'un programme numérique pour le calcul de $I(f)$.

Soit $f:[a,b]⟶ℝ$ bornée et soit une subdivision de $[a,b]$ de pas On pose:

Définition [Intégrale de Riemann]

Remarque

Proposition

Remarque

Théorème

II-1 Idée de base

II-2 Méthode des rectangles à gauche

II-3 Méthode des rectangles à droite

II-4 Méthode du point milieu

II-5 Méthode du trapèze

II-6 Méthode de Simpson

II-7 Méthode de Newton-Cotes

II-8 Ordre

La plupart des algorithmes numériques procèdent comme suit : on subdivise l'intervalle $[a,b]$ en plusieurs sous-intervalles ${\displaystyle \sigma ={\displaystyle \{a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b\}}}$ et on utilise le fait que De cette manière, on est amené au calcul de plusieurs intégrales pour lesquelles la longueur de l'intervalle d'intégration est relativement petite. Prenons une de ces intégrales, notons $h_i=x_{i+1}-x_i$ la longueur de l'intervalle et $g(t)=f(x_i+t{h}_i)$. Un changement de variable nous donne alors:
Il reste alors à calculer une approximation de

L'aire du domaine limité par les droites $x=0,x=1$